Cómo obtienen los casinos su dinero: probabilidad

La definición clásica de probabilidad, surgida de los trabajos de Pierre Simon Laplace (1749-1827) establece que  la probabilidad de ocurrencia de un evento está determinada por  la relación existente entre el número de casos favorables, sobre el número de todos los casos posibles, suponiendo, claro,  que todos los casos considerados tienen las mismas chances de ocurrir.

Obviando los clásicos ejemplos de cálculos de probabilidades en el tiro de un dado, los cuales pueden encontrarse en cualquier libro de matemáticas, vayamos directamente a  calcular algunas probabilidades del juego de la ruleta, utilizando la fórmula de Laplace. 

Si queremos saber, por ejemplo, cuál es la probabilidad de obtener un número par en una partida cualquiera de este juego, debemos considerar en primer lugar los casos favorables, es decir, aquellos números del cilindro que nos harían ganar si apostásemos a esta chance (par),  que como sabrá el lector, son 18 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34 y 36). 

Si luego estamos analizando una ruleta americana, con 0 y doble 0, el total de casos posibles será de 38 (1 al 36, más el 0 y el 00). Luego, al aplicar la fórmula para calcular la probabilidad, se obtiene la siguiente operación: P = 18 eventos favorables/38 eventos posibles; es decir, P = 18/38, que arroja el siguiente valor: P = 0,473684. Este valor nos indica que tenemos  un 47,3684% de probabilidades a favor de que la bola se detenga en cualquier número par, mientras que  en contra tenemos el 52,6316% de probabilidades, dadas por los restantes 20 números del cilindro que no nos favorecen (los impares más el 0 y el 00). 

Si nos proponemos, luego, conocer cuáles son las probabilidades de acertar apostando a un chance doble, jugando por ejemplo a la Tercera Docena, repetimos el procedimiento anterior, considerando que en este caso son 12 los números que  nos son favorables ( 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36). Al aplicar la fórmula de la probabilidad se obtiene: P = 12 eventos favorables/38 eventos posibles; es decir, P = 12/38, que arroja como valor: P = 0,3157895. Ello nos indica que realizando esta apuesta tenemos un 31,57895% de probabilidades a nuestro favor, mientras que son del  68,42105%, las probabilidades en nuestra contra.  

Este último valor los podemos calcular como la cantidad de eventos que nos resultan desfavorables (en nuestro caso 38-12 = 26) dividido por el total de casos posibles (38), o de manera más rigurosa, como q= 1-P, donde q representa las probabilidades en contra, y P las probabilidades que tenemos a nuestro favor, lo que nos da en nuestro ejemplo, q= 1-0,3157895 = 0,6842105.

De igual modo, podemos calcular la probabilidad de acertar apostando a un único número (pleno), la cual estará dada por P = 1/38, lo que nos da: P = 0,02631579, o lo que es los mismo, que tenemos el 2,631579% de probabilidades de acertar con el número elegido, mientras que las chances en contra serán, aplicando la fórmula del párrafo anterior, de q= 1 - 0,02631579 = 0,9736842, es decir del 97,36842%. De igual modo pueden calcularse las probabilidades de cualquier otra postura de la ruleta.

Valor esperado en el juego de ruleta

En el artículo anterior habíamos dicho que el Valor Esperado o EV era una magnitud que nos permitía determinar el porcentaje de ingresos que uno de los participantes del juego (ya sea éste un jugador o la Banca) espera obtener en el largo plazo sobre la cantidad total del dinero que es apostado en cada jugada.  Habíamos dicho también, que EV representaba la ganancia o pérdida media resultante de una situación del juego  teniendo en cuenta todos los resultados posibles y sus probabilidades, y que lo podríamos expresar mediante la fórmula: 

EV= (Dinero a Ganar X Probabilidad de Ganar) + (Dinero a Perder X Probabilidad de Perder) 

Aplicaremos entonces este concepto utilizando las probabilidades que calculamos en el apartado anterior, para determinar cuál es el Valor Esperado de algunas de las posturas clásicas del juego de ruleta, para luego intentar extraer de allí algunas conclusiones. Lo haremos desde el punto de vista del jugador, simplemente porque los pagos son más sencillos de comprender desde esa óptica, aunque igualmente los podríamos hacer desde el punto de vista de la Banca, considerando que ambos son complementarios, es decir que todo aquello que sea una ganancia para el jugador, será una pérdida para la Banca y, viceversa, las ganancias de la Banca derivan de las pérdidas del jugador, con lo cual la ecuación del EV es la misma para ambos, pero con signos opuestos. 

Consideremos, en primer lugar, una apuesta a chance simple, como por ejemplo la apuesta a Par. Como sabrá el lector, esta postura paga 1 a 1, es decir que el jugador obtendrá un premio igual a su apuesta, en caso de que la bola pare en alguno de los 18 números que le favorecen. Caso contrario, pierde el dinero apostado. Esto lo podemos resumir de la siguiente manera:  

Valores del cilindro favorables para el jugador:  18 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34 y 36). 

Probabilidades de ganar: 18 / 38 = 0,473684 = 47,3684%

Valores del cilindro desfavorables para el jugador: 20 (0, 00, 1, 3, 5, 7 , 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,  25, 27, 29, 31, 33 y 35)

Probabilidades de perder:  20 / 38 = 0,526316 = 52,6316%

Aplicando entonces la fórmula del Valor Esperado de esta postura para el apostador, considerando una apuesta de $1, obtendremos: 

EV= (1 x 18/38)+ (-1 x 20/38) = (1 x 0,473684) + (-1 x 0,526316) = 0,473684–0,526316 = -0,0526316

EV = -$ 0,0526316

El signo negativo del EV debe interpretarse como una pérdida desde el punto de vista del apostador. Nótese que el mismo criterio (valor negativo) es el que hemos usado en el segundo sumando de la ecuación, para representar la pérdida de la apuesta (de $1, en nuestro ejemplo), para un caso desfavorable. En particular,  el  valor obtenido nos indica que el jugador tiene una expectativa negativa, en el largo plazo, del orden de 5,26 centavos por cada peso que apuesta a esta chance. Visto desde el punto de vista del casino, el EV obtenido nos indica que para esta postura (Chance Simple) la Ventaja Matemática de la Casa (House Edge) por sobre el jugador  es del  5,26%.

Observemos  que el número obtenido (-$ 0,0526316) no es un resultado inmediato que se pueda visualizar al cabo de unas pocas partidas, ya que los resultados posibles para el jugador serán de 1 unidad de apuesta cada vez que acierte un número par, y la pérdida de ésta si el número es impar, 0 o doble 0. 

De aquí que el EV debe interpretarse como una tendencia estadística del juego en el largo plazo, y no como un resultado puntual de cada partida. En un caso extremo, si el jugador apostara simultáneamente $1 a dos chances opuestas, por ejemplo Par e Impar, Mayor y Menor, o Rojo y Negro, y el juego se comportara bajo una regularidad estadística perfecta, es decir que salieran una vez cada uno de los 38 números posibles, el jugador acabaría teniendo, al concluir el ciclo, una pérdida de 4 de las 76 unidades apostadas, 2 cuando salga el 0 y otras 2 cuando salga el doble 0, mientras que con cualquier otro número saldría hecho (la pérdida de una chance se compensa con la ganancia de la opuesta). En este caso su expectativa al cabo de la sesión será -4/76 = -$ 0,0526. Volveremos sobre la cuestión de la Regularidad Estadística en un próximo artículo. 

Analicemos ahora que sucede con el Valor Esperado de una apuesta a Chance Doble, la cual como sabemos, paga 2 a 1 la apuesta. Si suponemos, por ejemplo, una apuesta de $1 a Tercera Docena, el EV nos dará:

Valores del cilindro favorables para el jugador:  12 (25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36). 

Probabilidades de ganar:  12 / 38 = 0,3157895 = 31,57895%

Valores del cilindro desfavorables para el jugador:  26 (0, 00 y 1 al 24)

Probabilidades de perder:  26 / 38 = 0,6842105 = 68,42105%

Aplicando entonces la fórmula del Valor Esperado de esta postura para el apostador, considerando una apuesta de $1, obtendremos: 

EV= (2 x 12/38)+ (-1 x 26/38)=(2 x 0,315789)+(-1 x 0,6842105)= 0,6315789–0,6842105=-0,0526316

EV = -$ 0,0526316

Nuevamente vemos aquí que el Valor Esperado para esta postura, visto desde el punto de vista del jugador, es una pérdida a largo plazo de 5,26 centavos por cada unidad apostada. De manera similar, el lector podrá comprobar que el EV será el mismo para cualquier apuesta simple que se realice en este juego, con una única excepción que consideraremos en el próximo artículo, y que solo se da en la ruleta de doble 0. Solo a modo de verificación, calcularemos por último el EV de una apuesta de $1 a Pleno, que como todos sabemos paga 35 a 1:

EV= (35 x 1/38)+ (-1 x 37/38)=(35 x 0,026316)+(-1 x 0,973684)= 0,921053–0,973684=-0,0526316

EV = -$ 0,0526316